Partie A : calcul de l'IDH

Avant \(2011\), le calcul de l'IDH consistait en la moyenne arithmétique des trois indices, c'est-à-dire \(\text{IDH}=\dfrac{L+E+V}3\).
1. Calculer les \(\text{IDH}\), ajustés aux inégalités, des trois pays à l'aide de la moyenne arithmétique des trois indices.

Depuis 2011, le calcul de l' IDH consiste en la moyenne géométrique des trois indices, c'est-à-dire \(\text{IDH}=(L\times E\times V)^{\frac{1}3}\).

2. Calculer les IDH, ajustés aux inégalités, des trois pays à l'aide de la moyenne géométrique des trois indices.

3. Compléter le tableau suivant en y ajoutant les IDH calculés suivant les deux méthodes précédentes (arrondir au dixième).

\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Pays} &L&E&V&\text{IDH}_{\text{arithmétique}}&\text{IDH}_{\text{géométrique}}\\ \hline \text{France} & 0{,}937 & 0{,}769 & 0{,}764\\ \hline\text{Inde} &0{,}607 & 0{,}359& 0{,}401\\ \hline\text{Mexique} & 0{,}766 &0{,}604 & 0{,}568\\ \hline \end{array}\end{align*}\)

4. Conjecture
Pour chaque pays, comparer les deux IDH calculés. Quelle conjecture peut-on émettre concernant les valeurs des moyennes arithmétiques et géométriques de trois nombres ?

5. Le cas de l'Afrique du Sud
Les indices de l'Afrique du Sud sont \(L=0{,}514\) ; \(\ E=0{,}648\) et \(V=0{,}295\).
Calculer l'IDH de l'Afrique du Sud en utilisant la moyenne arithmétique, puis la moyenne géométrique. Comparer les deux valeurs.
Pourquoi le Programme des Nations unies pour le développement a-t-il décidé d'utiliser la moyenne géométrique plutôt que la moyenne arithmétique pour calculer l'IDH des pays du monde ?